オイラーの等式は、世界で一番美しい式と言われています。
その成り立ちを、テーラー展開式を用いて視覚的に示しましょう。
複素領域での指数関数の展開は、
ez=1+z+(1/2!)z2+(1/3!)z3+...+(1/n!)zn+...
zn の特性は、
距離が rn
偏角が n倍
になることです。
オイラーの式は z＝iπ （π は パイ）の場合です。
注意点は、展開の次数nが進むごとに i の働きで反時計方向に９０度回転し、距離は
rn/(n!)
と計算されることです。
上の図は、展開式を次数の高まるに従って描いたものです。ー１に収束することが
わかります。これで、オイラーの等式の意味を視覚的に示すことができました。
実際の挙動はyoutubeに載せてあります。関連youtube を開いて Euler's identity をご覧下さい。
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